Wie löst man die Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte?

Mathematik ist keine langweilige Wissenschaft, wie es manchmal scheint. Es gibt eine Menge interessanter, wenn auch manchmal unverständlicher für diejenigen, die es nicht verstehen wollen. Heute wird es um eines der häufigsten und einfachsten Themen in der Mathematik oder vielmehr um das Gebiet der Algebra und Geometrie gehen. Lassen Sie uns über direkte und ihre Gleichungen sprechen. Es scheint, dass dies ein langweiliges Schulfach ist, das nichts Interessantes und Neues verspricht. Dies ist jedoch nicht der Fall, und in diesem Artikel werden wir versuchen, Ihnen unsere Sichtweise zu beweisen. Bevor wir uns dem Interessantesten zuwenden und die Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte beschreiben, wenden wir uns der Geschichte all dieser Messungen zu und finden dann heraus, warum dies alles notwendig war und warum nun auch die Kenntnis der nachfolgenden Formeln nicht stört.

Geschichte

Schon in alten Zeiten liebten Mathematikergeometrische Konstruktionen und alle Arten von Graphen. Es ist heute schwer zu sagen, wer zuerst die Gleichung einer geraden Linie durch zwei Punkte gefunden hat. Aber wir können annehmen, dass dieser Mann Euklid war - ein alter griechischer Gelehrter und Philosoph. Er war es, der in seiner Abhandlung "Der Anfang" die Grundlage der zukünftigen euklidischen Geometrie schuf. Nun wird dieser Teil der Mathematik als Grundlage der geometrischen Darstellung der Welt betrachtet und in der Schule gelehrt. Man sollte jedoch sagen, dass die euklidische Geometrie bei unserer dreidimensionalen Messung nur auf der Makroebene funktioniert. Wenn wir den Kosmos betrachten, ist es nicht immer möglich, mit ihm alle Phänomene darzustellen, die dort auftreten.

Nach Euklid gab es noch andere Wissenschaftler. Und sie vervollkommneten und begriffen, was er entdeckte und schrieb. Am Ende stellte sich ein stabiler Bereich der Geometrie heraus, in dem noch alles unerschütterlich ist. Und seit Jahrtausenden ist bewiesen, dass die Gleichung einer geraden Linie durch zwei Punkte sehr leicht zu kompilieren ist. Aber bevor wir anfangen zu erklären, wie das geht, werden wir ein bisschen Theorie diskutieren.

Theorie

Die Linie ist in beiden Richtungen unendlichEin Segment, das in eine unendliche Anzahl von Segmenten beliebiger Länge unterteilt werden kann. Um eine gerade Linie darzustellen, werden Graphen am häufigsten verwendet. Und die Graphen können sowohl in einem zweidimensionalen als auch in einem dreidimensionalen Koordinatensystem vorliegen. Und sie sind nach den Koordinaten der Punkte gebaut, die ihnen gehören. Wenn Sie eine gerade Linie betrachten, können Sie sehen, dass sie aus einer unendlichen Menge von Punkten besteht.

Es gibt jedoch etwas, dass die Linie sehr stark istunterscheidet sich von anderen Arten von Linien. Das ist ihre Gleichung. Im Allgemeinen ist es sehr einfach, anders als, sagen wir, die Gleichung eines Kreises. Sicher, jeder von uns hat es in der Schule bestanden. Aber schreiben Sie immer noch seine allgemeine Form: y = kx + b. Im nächsten Abschnitt besprechen wir ausführlich, was jeder dieser Buchstaben bedeutet und wie man diese einfache Gleichung einer durch zwei Punkte verlaufenden Geraden löst.

Die Gleichung der Linie

Die Gleichheit, die oben dargestellt wurde, undist die notwendige Gleichung der Linie. Es lohnt sich zu erklären, was hier bedeutet. Wie Sie sich denken können, sind y und x die Koordinaten jedes Punktes, der zu einer geraden Linie gehört. Im Allgemeinen existiert diese Gleichung nur deshalb, weil es für jeden Punkt einer Linie eigen ist, in Verbindung mit anderen Punkten zu stehen, und deshalb gibt es ein Gesetz, das eine Koordinate mit einer anderen verbindet. Dieses Gesetz bestimmt, wie die Gleichung einer geraden Linie durch zwei gegebene Punkte aussieht.

Warum zwei Punkte? All dies liegt daran, dass die minimale Anzahl von Punkten, die benötigt werden, um eine gerade Linie in einem zweidimensionalen Raum zu konstruieren, zwei ist. Wenn wir einen dreidimensionalen Raum nehmen, dann wird die Anzahl der Punkte, die notwendig sind, um eine einzelne gerade Linie zu konstruieren, auch gleich zwei sein, da drei Punkte bereits eine Ebene bilden.

Es gibt auch einen Satz, der beweist, dass es möglich ist, eine einzige gerade Linie durch zwei beliebige Punkte zu ziehen. Diese Tatsache kann in der Praxis verifiziert werden, indem zwei zufällige Punkte auf dem Graphen mit einem Lineal kombiniert werden.

Betrachten Sie nun ein konkretes Beispiel und zeigen Sie, wie Sie diese notorische Gleichung einer durch zwei gegebene Punkte verlaufenden Geraden lösen können.

Beispiel:

Berücksichtigen Sie zwei Punkte, durch die Sie eine gerade Linie erstellen möchten. Wir geben ihnen Koordinaten, zum Beispiel M₁(2; 1) und M₂(3; 2). Wie wir aus dem Schulkurs wissen, ist die erste Koordinate der Wert entlang der OX-Achse und die zweite ist entlang der OY-Achse. Die Gleichung einer geraden Linie durch zwei Punkte wurde oben gegeben, und um die fehlenden Parameter k und b herauszufinden, müssen wir ein System von zwei Gleichungen zusammenstellen. Tatsächlich wird es aus zwei Gleichungen bestehen, von denen jede zwei unserer unbekannten Konstanten haben wird:

1 = 2k + b

2 = 3k + b

Jetzt bleibt das Wichtigste: dieses System zu lösen. Dies geschieht ganz einfach. Zuerst drücken wir aus der ersten Gleichung b aus: b = 1-2k. Jetzt müssen wir die resultierende Gleichung in die zweite Gleichung einsetzen. Dies geschieht, indem wir b durch die von uns erhaltene Gleichheit ersetzen:

2 = 3k + 1-2k

1 = k;

Jetzt wissen wir, was der Wert istKoeffizient k, es ist Zeit, den Wert der nächsten Konstante herauszufinden - b. Dies wird noch einfacher gemacht. Da wir die Abhängigkeit von b von k kennen, können wir den Wert des letzteren in die erste Gleichung einsetzen und den unbekannten Wert herausfinden:

b = 1-2 * 1 = -1.

Da wir beide Koeffizienten kennen, können wir sie jetzt ersetzenin die erste allgemeine Gleichung der Geraden durch zwei Punkte. Für unser Beispiel erhalten wir die folgende Gleichung: y = x-1. Dies ist die gewünschte Gleichheit, die wir hätten erreichen sollen.

Bevor wir zu dem Schluss kommen, wollen wir die Anwendung dieses Teils der Mathematik im täglichen Leben diskutieren.

Anwendung

Als solche die Gleichung einer geraden Linie durchzwei Punkte finden nicht. Aber das bedeutet nicht, dass wir es nicht brauchen. In der Physik und Mathematik werden die daraus folgenden Gleichungen der Linien und Eigenschaften sehr aktiv verwendet. Vielleicht bemerken Sie es nicht einmal, aber Mathematik umgibt uns. Und selbst solche scheinbar unauffälligen Themen wie die Gleichung einer geraden Linie durch zwei Punkte sind sehr nützlich und werden oft auf einer fundamentalen Ebene angewendet. Wenn es auf den ersten Blick so aussieht, als käme das überhaupt nicht in Frage, dann irren Sie sich. Die Mathematik entwickelt logisches Denken, das niemals überflüssig sein wird.

Fazit

Jetzt, wo wir herausgefunden haben, wie man Linien an zwei gegebenen Punkten erstellt, brauchen wir keine Fragen dazu zu beantworten. Zum Beispiel, wenn ein Lehrer dir sagt: "Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch zwei Punkte verläuft, "dann werden Sie nicht in der Lage sein, dies zu tun, wir hoffen, dass dieser Artikel für Sie nützlich war.