Fraktion. Multiplikation von Brüchen der gewöhnlichen, dezimalen, gemischten

Im Laufe der Mittel- und Oberstufenschülerhat das Thema "Fraktionen" bestanden. Dieses Konzept ist jedoch viel umfassender als es im Lernprozess gegeben ist. Heutzutage kommt das Konzept eines Bruches ziemlich oft vor, und nicht jeder kann irgendeinen Ausdruck berechnen, zum Beispiel multiplizierende Brüche.

Was ist ein Bruchteil?

Also historisch Bruchzahlenerschien wegen der Notwendigkeit zu messen. Wie die Praxis zeigt, gibt es oft Beispiele für die Bestimmung der Länge eines Segments, das Volumen eines rechteckigen Parallelepipeds, die Fläche eines Rechtecks.

Am Anfang lernen die Schüler solche kennenKonzept, als Aktie. Zum Beispiel, wenn Sie eine Wassermelone in 8 Teile teilen, dann erhalten Sie jeweils ein Achtel Wassermelone. Dieser eine Teil der Acht wird als Anteil bezeichnet.

Ein Anteil gleich der Hälfte eines Wertes wird als eine Hälfte bezeichnet; ⅓ - der Dritte; ¼ - ein Viertel. Aufzeichnungen des Formulars ⁵/₈, ⁴/₅, ²/₄ werden gewöhnliche Brüche genannt. Der gewöhnliche Bruch ist in Zähler und Nenner unterteilt. Zwischen ihnen ist ein Merkmal der Fraktion oder eine Bruchlinie. Eine Bruchlinie kann als horizontale oder geneigte Linie gezeichnet werden. In diesem Fall bezeichnet es das Divisionszeichen.

Der Nenner gibt an, wie viele gleiche Teile eine Menge durch ein Objekt teilt; und der Zähler - wie viele identische Aktien werden genommen. Der Zähler steht oberhalb der Bruchlinie, der Nenner steht darunter.

Es ist am bequemsten, gewöhnliche Fraktionen anzuzeigenKoordinatenstrahl. Wenn ein einzelnes Segment in 4 gleiche Teile unterteilt ist, benennen Sie jede Aktie mit einem lateinischen Buchstaben, dann erhalten Sie eine ausgezeichnete visuelle Hilfe. Somit zeigt Punkt A einen Bruchteil gleich ¹/₄ aus dem gesamten Einheitsintervall und Punkt B-Markierungen ²/₈ von diesem Segment.

Variation der Fraktionen

Brüche sind gewöhnliche, dezimale und auch gemischte Zahlen. Darüber hinaus können Fraktionen in regelmäßige und unregelmäßige unterteilt werden. Diese Klassifizierung ist geeigneter für gewöhnliche Fraktionen.

Ein korrekter Bruch ist eine Zahl, derenDer Zähler ist kleiner als der Nenner. Dementsprechend ist der unregelmäßige Bruch eine Zahl, deren Zähler größer ist als der Nenner. Die zweite Art wird normalerweise in Form einer gemischten Zahl geschrieben. Dieser Ausdruck besteht aus einer ganzen Zahl und einem Bruchteil. Zum Beispiel 1½. 1 - ganzzahliger Teil, ½ - Bruchzahl. Wenn Sie jedoch mit dem Ausdruck etwas manipulieren müssen (die Brüche teilen oder multiplizieren, sie reduzieren oder konvertieren), wird die gemischte Zahl in einen inkorrekten Bruchteil übersetzt.

Der korrekte Bruchausdruck ist immer kleiner als eins und der falsche Bruchausdruck ist größer oder gleich 1.

Wie für DezimalzahlenAusdruck bedeutet einen Datensatz, in dem eine beliebige Zahl dargestellt ist, wobei der Nenner eines gebrochenen Ausdrucks in Form einer Einheit mit mehreren Nullen ausgedrückt werden kann. Wenn der Bruch richtig ist, wird der ganzzahlige Teil in der Dezimalschreibweise Null sein.

Um einen Dezimalbruch aufzuzeichnen, müssen Sie zuerstschreibe den ganzen Teil, trenne ihn von einem Bruchteil mit einem Komma und schreibe dann einen Bruchteilausdruck. Es ist zu beachten, dass der Zähler nach einem Komma so viele numerische Zeichen enthalten muss wie die Nullen im Nenner.

Beispiel:. Präsentiere einen Bruchteil von 7²¹/₁₀₀₀ in der Dezimalschreibweise.

Der Algorithmus zum Konvertieren eines unregelmäßigen Bruchteils in eine gemischte Zahl und umgekehrt

Um den falschen Bruchteil in der Antwort des Problems aufzuzeichnen, ist es falsch, deshalb muss es in eine gemischte Zahl übersetzt werden:

• den Zähler durch den vorhandenen Nenner zu teilen;
• In einem bestimmten Beispiel ist ein unvollständiger Quotient eine ganze Zahl;
• und der Rest ist der Zähler des Bruchteils und der Nenner bleibt unverändert.

Beispiel:. Übersetzen Sie die falsche Fraktion in eine gemischte Zahl: ⁴⁷/₅.

Die Lösung. 47: 5. Ein unvollständiger Quotient ist gleich 9, ein Rest = 2. Daher ⁴⁷/₅ = 9²/₅.

Manchmal ist es notwendig, eine gemischte Zahl als unregelmäßigen Bruchteil darzustellen. Dann müssen Sie den folgenden Algorithmus verwenden:

• der ganze Teil wird mit dem Nenner des gebrochenen Ausdrucks multipliziert;
• das resultierende Produkt wird dem Zähler hinzugefügt;
• das Ergebnis wird in den Zähler geschrieben, der Nenner bleibt unverändert.

Beispiel:. Stellen Sie die Zahl in gemischter Form als unregelmäßigen Bruch dar: 9⁸/₁₀.

Die Lösung. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 ist der Zähler.

Antwort: ⁹⁸/_10.

Multiplikation von Bruchteilen gewöhnlicher

Über gemeinsame Brüche kann getan werdenverschiedene algebraische Operationen. Um zwei Zahlen zu multiplizieren, muss der Zähler mit dem Zähler und der Nenner mit dem Nenner multipliziert werden. Und Multiplikation von Brüchen mit verschiedenen Nennern unterscheidet sich nicht vom Produkt der Bruchzahlen mit den gleichen Nennern.

Es passiert, dass nach dem Finden des Ergebnisses Sie brauchenSchneide die Fraktion ab. Es ist absolut notwendig, den resultierenden Ausdruck so weit wie möglich zu vereinfachen. Natürlich kann man nicht sagen, dass der falsche Bruch in der Antwort ein Fehler ist, aber es ist auch schwierig, eine richtige Antwort darauf zu nennen.

Beispiel:. Finde das Produkt aus zwei gewöhnlichen Fraktionen: ½ und ²⁰/₁₈.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, wurde nach dem Auffinden des Produkts eine reduzierbare fraktionelle Aufzeichnung erhalten. Sowohl der Zähler als auch der Nenner werden in diesem Fall durch 4 geteilt, und das Ergebnis ist die Antwort ⁵/₉.

Multiplikation von Dezimalzahlen

Das Produkt der Dezimalbrüche unterscheidet sich auf seine Weise ziemlich von dem Produkt der gewöhnlichen Brüche. Daher ist die Multiplikation von Brüchen wie folgt:

• zwei Dezimalbrüche müssen untereinander geschrieben werden, so dass die Ziffern ganz rechts untereinander stehen;
• Es ist notwendig, die aufgezeichneten Zahlen trotz Kommas zu multiplizieren, dh als natürliche Zahlen;
• Berechnen Sie die Anzahl der Nachkommastellen in jeder der Zahlen;
• In dem resultierenden Ergebnis nach Multiplikation des Ergebnisses ist es notwendig, so viele numerische Symbole wie in der Summe in beiden Faktoren nach dem Komma zu zählen, und das Trennzeichen zu setzen;
• Wenn die Zahlen im Produkt kleiner sind, müssen Sie vor ihnen so viele Nullen schreiben, dass sie diese Zahl abdecken. Setzen Sie ein Komma und weisen Sie den ganzen Teil gleich Null zu.

Beispiel:. Berechnen Sie das Produkt zweier Dezimalbrüche: 2,25 und 3,6.

Die Lösung.

Multiplikation von gemischten Fraktionen

Um das Produkt zweier gemischter Fraktionen zu berechnen, müssen wir die Multiplikationsregel verwenden:

• übersetzen Zahlen in gemischter Form in unregelmäßige Brüche;
• finde das Produkt der Zähler;
• finde das Produkt der Nenner;
• zeichne das Ergebnis auf;
• um den Ausdruck so viel wie möglich zu vereinfachen.

Beispiel:. Finde das Produkt 4 1 und 6²/_5.

Multiplikation einer Zahl mit einem Bruch (Brüche durch eine Zahl)

Zusätzlich zum Finden des Produkts von zwei Fraktionen, gemischte Zahlen, gibt es Jobs, bei denen es notwendig ist, die natürliche Zahl mit einem Bruchteil zu multiplizieren.

Um das Produkt eines Dezimalbruches und einer natürlichen Zahl zu finden, benötigen Sie:

• schreibe die Zahl unter den Bruch, so dass die Ziffern ganz rechts übereinander liegen;
• finde das Produkt, trotz des Kommas;
• Im resultierenden Ergebnis, um den ganzen Teil vom Bruchteil mit einem Komma zu trennen, zählt man die Anzahl der Nachkommastellen im Bruch.

Um einen gewöhnlichen Bruch mit einer Zahl zu multiplizieren, ist es notwendig, das Produkt des Zählers und des natürlichen Faktors zu finden. Wenn die Antwort ein reduzierbarer Bruch ist, sollte sie konvertiert werden.

Beispiel:. Berechnen Sie das Produkt ⁵/₈ und 12.

Die Lösung. ⁵/₈ * 12 = ^{(5 * 12)}/₈ = ⁶⁰/₈ = ³⁰/₄ = ¹⁵/₂ = 7¹/_2.

Antwort: 7¹/_2.

Wie Sie aus dem vorherigen Beispiel sehen können, war es notwendig, das Ergebnis zu verkürzen und den inkorrekten Ausdruck in eine gemischte Zahl umzuwandeln.

Die Multiplikation von Brüchen betrifft auch das FindenProdukt einer Zahl in einer gemischten Form und eines natürlichen Faktors. Um diese beiden Zahlen zu multiplizieren, multiplizieren Sie den ganzen Teil des gemischten Faktors mit der Zahl, multiplizieren Sie den Zähler mit demselben Wert und lassen Sie den Nenner unverändert. Bei Bedarf sollte das Ergebnis so weit wie möglich vereinfacht werden.

Beispiel:. Finde das Produkt 9⁵/₆ und 9.

Die Lösung. 9⁵/₆ x 9 = 9 x 9 + ^{(5 x 9)}/₆ = 81 + ⁴⁵/₆ = 81 + 7³/₆ = 88¹/_2.

Antwort: 88¹/_2.

Multiplikation mit Faktoren von 10, 100, 1000 oder 0,1; 0,01; 0,001

Die vorhergehende Regel beinhaltet Folgendes. Um einen Dezimalbruch mit 10, 100, 1000, 10000 usw. zu multiplizieren, verschieben Sie das Komma um so viele Stellen nach rechts, wie im Multiplikator nach Nullen Nullen sind.

Beispiel 1. Finde das Produkt von 0,065 und 1000.

Die Lösung. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Antwort: 65.

Beispiel 2. Finde das Produkt 3.9 und 1000.

Die Lösung. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Antwort: 3900.

Wenn es notwendig ist, die natürliche Zahl und 0,1 zu multiplizieren;0,01; 0,001; 0,0001 usw., sollten Sie ein Komma in der resultierenden Arbeit um so viele Stellen der Ziffern verschieben, wie die Anzahl der Nullen bis zu eins ist. Gegebenenfalls werden Nullen vor der natürlichen Zahl in ausreichender Menge geschrieben.

Beispiel 1. Finde das Produkt von 56 und 0,01.

Die Lösung. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Antwort: 0,56.

Beispiel 2. Finde das Produkt 4 und 0,001.

Die Lösung. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Antwort: 0,004.

Also, das Finden des Produktes von verschiedenen Brüchen sollte keine Schwierigkeiten verursachen, außer dass die Berechnung des Ergebnisses; In diesem Fall kann auf einen Taschenrechner nicht verzichtet werden.