Periodische Funktion: allgemeine Konzepte

Oft beim Studium der Phänomene der Natur, Chemie undphysikalische Eigenschaften verschiedener Substanzen, und auch bei der Lösung komplexer technischer Probleme muß man sich mit Prozessen befassen, deren charakteristisches Merkmal die Periodizität ist, dh die Tendenz, sich nach einer gewissen Zeit zu wiederholen. Für die Beschreibung und graphische Darstellung einer solchen Zyklizität in der Wissenschaft gibt es eine Funktion besonderer Art - eine periodische Funktion.

Das einfachste und verständlichste Beispiel ist die Behandlungunseres Planeten um die Sonne herum, in dem die Distanz, die zwischen ihnen variiert, ständig den jährlichen Zyklen folgt. Auf die gleiche Weise kehrt die Turbinenschaufel an ihren Platz zurück, nachdem sie eine vollständige Umdrehung gemacht hat. Alle diese Prozesse können durch einen solchen mathematischen Wert als eine periodische Funktion beschrieben werden. Im Großen und Ganzen ist unsere ganze Welt zyklisch. Dies bedeutet, dass die periodische Funktion auch einen wichtigen Platz im menschlichen Koordinatensystem einnimmt.

Das Bedürfnis nach mathematischer Wissenschaft in der Zahlentheorie,Topologie, Differentialgleichungen und präzise geometrische Berechnungen führten im 19. Jahrhundert zu einer neuen Kategorie von Funktionen mit ungewöhnlichen Eigenschaften. Sie sind periodische Funktionen, die aufgrund komplexer Transformationen an bestimmten Stellen identische Werte annehmen. Jetzt werden sie in vielen Bereichen der Mathematik und anderen Wissenschaften verwendet. Zum Beispiel beim Studium verschiedener Schwingungseffekte in der Wellenphysik.

In verschiedenen mathematischen Lehrbüchern sind angegebenverschiedene Definitionen einer periodischen Funktion. Unabhängig von diesen Diskrepanzen in den Formulierungen sind sie jedoch alle gleichwertig, da sie die gleichen Eigenschaften der Funktion beschreiben. Die folgende Definition kann die einfachste und verständlichste sein. Funktionen, deren numerische Exponenten keiner Änderung unterliegen, wenn wir ihrem Argument eine von Null verschiedene Zahl hinzufügen, wird die sogenannte Funktionsperiode, bezeichnet mit dem Buchstaben T, als periodisch bezeichnet. Was bedeutet das alles in der Praxis?

Zum Beispiel eine einfache Funktion des Formulars: y = f (x) wird periodisch in dem Fall, wenn X einen bestimmten Wert der Periode (T) hat. Aus dieser Definition folgt, dass, wenn der numerische Wert einer Funktion mit einer Periode (T) an einem der Punkte (x) definiert ist, ihr Wert auch an den Punkten x + T, x = T bekannt wird. Ein wichtiger Punkt ist hier, dass T die Funktion gleich Null wird zu einer Identität. Eine periodische Funktion kann unendlich viele verschiedene Perioden haben. In den meisten Fällen unter den positiven Werten von T gibt es eine Periode mit dem kleinsten numerischen Index. Es wird die Hauptperiode genannt. Und alle anderen Werte von T sind immer ein Vielfaches davon. Dies ist eine weitere interessante und sehr wichtige Eigenschaft für verschiedene Wissenschaftsbereiche.

Der Graph der periodischen Funktion hat auchmehrere Funktionen. Zum Beispiel, wenn T die Grundperiode des Ausdrucks ist: y = f (x), dann mit dem diese Funktion Plotten, gerade genug, um zu bauen eine Niederlassung in einen der Perioden der Periodenlänge, und dann für die folgenden Werte entlang der X-Achse bewegen: ± T, ± 2T , ± 3T und so weiter. Zusammenfassend ist festzuhalten, dass nicht jede periodische Funktion eine Basisperiode hat. Ein klassisches Beispiel dafür ist die deutsche Mathematiker Dirichlet-Funktion der folgenden Form: y = d (x).