Kontinuierliche Funktion

Eine stetige Funktion ist eine Funktionohne "Sprünge", dh für die die Bedingung erfüllt ist: kleinen Änderungen im Argument folgen kleine Änderungen in den entsprechenden Werten der Funktion. Der Graph einer solchen Funktion ist eine glatte oder kontinuierliche Kurve.

Kontinuität am Punkt, Grenze für einigeSätze können mit Hilfe des Konzepts einer Grenze definiert werden, nämlich: eine Funktion muss an dieser Stelle eine Grenze haben, die gleich ihrem Wert am Grenzpunkt ist.

Wenn diese Bedingungen irgendwann verletzt werden,sagen, dass eine Funktion an einem gegebenen Punkt eine Diskontinuität erleidet, das heißt, ihre Kontinuität wird verletzt. In der Sprache der Grenzen kann der Punkt der Diskontinuität als eine Diskrepanz des Wertes einer Funktion an einem diskontinuierlichen Punkt mit der Grenze einer Funktion (falls vorhanden) beschrieben werden.

Die Unstetigkeitsstelle kann dafür beseitigt werdenEs ist notwendig, die Grenze einer Funktion zu haben, aber sie stimmt nicht mit ihrem Wert an einem gegebenen Punkt überein. In diesem Fall kann es an diesem Punkt "korrigiert" werden, dh es kann auf Kontinuität erweitert werden.
Ein völlig anderes Bild entsteht, wenn die Grenze der Funktion an einem bestimmten Punkt nicht existiert. Es gibt zwei mögliche Varianten von Haltepunkten:

• Die erste Art - und es gibt endliche Grenzen sowohl der einseitigen und den Wert von einer oder beide von ihnen nicht mit dem Wert der Funktion an einem bestimmten Punkt zusammenfallen;
• zweite Art, wenn eine oder beide der einseitigen Grenzen nicht existieren oder ihre Werte unendlich sind.

Eigenschaften von kontinuierlichen Funktionen

• Die Funktion, die im Ergebnis arithmetischer Operationen erhalten wird, sowie die Überlagerung kontinuierlicher Funktionen in ihrem Definitionsbereich ist ebenfalls kontinuierlich.
• Wenn eine kontinuierliche Funktion gegeben wird, die an einem bestimmten Punkt positiv ist, dann kann man immer eine ausreichend kleine Nachbarschaft finden, in der sie ihr Vorzeichen behält.
• Ähnlich, wenn seine Werte an zwei Punkten A und Bsind jeweils a und b, und a ist anders als b, dann nimmt sie für Zwischenpunkte alle Werte aus dem Intervall (a; b). Von hier aus können wir eine interessante Schlussfolgerung ziehen: Wenn wir ein gedehntes Gummiband zum Schrumpfen geben, so dass es nicht durchhängt (blieb gerade), dann bleibt einer seiner Punkte fixiert. Und geometrisch bedeutet dies, dass eine gerade Linie durch irgendeinen Zwischenpunkt zwischen A und B verläuft, der den Graphen der Funktion schneidet.

Wir bemerken einige der kontinuierlichen (auf der Domäne ihrer Definition) elementaren Funktionen:

• konstant;
• rational;
• trigonometrisch.

Zwischen zwei grundlegenden Konzepten inMathematik - Kontinuität und Differenzierbarkeit - es gibt eine untrennbare Verbindung. Es genügt, sich daran zu erinnern, dass es für die Differenzierbarkeit einer Funktion notwendig ist, dass dies eine stetige Funktion ist.

Wenn die Funktion zu irgendeinem Zeitpunkt differenzierbar ist, ist sie kontinuierlich. Es ist jedoch nicht notwendig, dass sein Derivat auch kontinuierlich ist.

Eine Funktion, die auf etwas eingestellt istkontinuierliche Ableitung, gehört zu einer separaten Klasse von glatten Funktionen. Mit anderen Worten, dies ist eine kontinuierlich differenzierbare Funktion. Wenn die Ableitung eine begrenzte Anzahl von Unterbrechungspunkten aufweist (nur der ersten Art), wird eine ähnliche Funktion stückweise glatt bezeichnet.

Ein weiteres wichtiges Konzept der mathematischen Analyseist die einheitliche Kontinuität der Funktion, dh ihre Fähigkeit, an jedem Punkt ihres Definitionsbereichs gleich kontinuierlich zu sein. Daher wird diese Eigenschaft in der Menge der Punkte und nicht in einer einzelnen betrachtet.

Wenn Sie den Punkt korrigieren, werden Sie das nicht bekommenAndere, wie die Definition von Kontinuität, dh die Existenz von einheitlicher Kontinuität, impliziert, dass wir eine kontinuierliche Funktion vor uns haben. Im Allgemeinen ist das Gegenteil nicht der Fall. Nach dem Satz von Cantor ist jedoch, wenn eine Funktion auf einem Kompaktum kontinuierlich ist, das heißt auf einem geschlossenen Intervall, dann ist sie gleichmäßig kontinuierlich darauf.