Diese geometrischen Figuren umgeben uns überall. Konvexe Polygone sind natürliche, zum Beispiel Bienenwaben oder künstliche (von Menschen geschaffene). Diese Figuren werden in der Herstellung von verschiedenen Arten von Beschichtungen, in Malerei, Architektur, Dekorationen usw. verwendet. Konvexe Polygone haben die Eigenschaft, dass alle ihre Punkte auf einer Seite der Linie liegen, die durch ein Paar benachbarter Ecken dieser geometrischen Figur verläuft. Es gibt andere Definitionen. Konvex ist das Polygon, das in einer einzelnen Halbebene in Bezug auf jede Linie liegt, die eine seiner Seiten enthält.
Die Eckpunkte eines Polygons werden in diesem Zusammenhang als benachbart bezeichnetwenn sie die Enden einer ihrer Seiten darstellen. Eine geometrische Figur, die die n-te Anzahl von Scheitelpunkten und somit die n-te Anzahl von Seiten hat, wird als n-gon bezeichnet. Die gestrichelte Linie selbst wird als Grenze oder Kontur dieser geometrischen Figur bezeichnet. Eine polygonale Ebene oder ein ebenes Polygon wird der begrenzte Teil jeder Ebene genannt, die von ihr begrenzt wird. Die benachbarten Seiten dieser geometrischen Figur sind die Segmente einer unterbrochenen Linie ausgehend von einem Eckpunkt. Sie werden nicht benachbart sein, wenn sie von verschiedenen Eckpunkten des Polygons kommen.
• Jedes Segment, das zwei Punkte miteinander verbindet, liegt vollständig darin;
• darin liegen alle seine Diagonalen;
• Der Innenwinkel darf 180 ° nicht überschreiten.
Das Polygon teilt die Ebene immer durch 2Teile. Einer von ihnen ist begrenzt (er kann in einem Kreis eingeschlossen sein) und der andere ist unbegrenzt. Der erste heißt der innere Bereich und der zweite heißt der äußere Bereich dieser geometrischen Figur. Dieses Polygon ist der Schnittpunkt (mit anderen Worten - die gemeinsame Komponente) von mehreren Halbebenen. In diesem Fall gehört jedes Segment, das an den Punkten endet, die zu dem Polygon gehören, vollständig dazu.
Das rechte Viereck ist ein Quadrat. Das rechte Dreieck heißt gleichseitig. Für solche Figuren gibt es folgende Regel: Jeder Winkel eines konvexen Polygons beträgt 180 ° * (n-2) / n,
wobei n die Anzahl der Eckpunkte dieser konvexen geometrischen Figur ist.
Die Fläche eines regulären Polygons wird durch die Formel definiert:
S = p * h,
Dabei ist p gleich der halben Summe aller Seiten eines gegebenen Polygons und h ist gleich der Länge des Apophems.
Angenommen, P ist eine gegebene konvexe FormPolygon. Nimm zwei beliebige Punkte, beispielsweise A und B, die durch die aktuelle Definition eines konvexen Polygons P. gehört, werden diese Punkte an einer Seite der geraden Linie befindet, die jede Richtung R. Folglich enthält, AB auch diese Eigenschaft hat und in R. ein konvexen Polygon enthielt immer Es ist möglich, in mehrere Dreiecke durch absolut alle Diagonalen zu teilen, die von einem seiner Eckpunkte gezeichnet werden.
Die Winkel eines konvexen Polygons sind Winkel, diewerden von seinen Parteien gebildet. Innenecken sind im inneren Bereich dieser geometrischen Figur. Der Winkel, der durch seine Seiten gebildet wird, die an einer Ecke konvergieren, wird der Winkel des konvexen Polygons genannt. Winkel, die an die inneren Ecken einer gegebenen geometrischen Figur angrenzen, werden als extern bezeichnet. Jeder Winkel eines konvexen Polygons, das sich in ihm befindet, ist gleich:
180 ° - x,
wo x ist der Wert des externen Winkels. Diese einfache Formel gilt für alle geometrischen Figuren dieses Typs.
Im allgemeinen Fall gibt es äußere Winkeldie folgende Regel: Jeder Winkel eines konvexen Polygons ist gleich der Differenz zwischen 180 ° und dem Wert des inneren Winkels. Es kann Werte im Bereich von -180 ° bis 180 ° haben. Wenn der innere Winkel 120 ° beträgt, beträgt der äußere Winkel daher 60 °.
180 ° * (n-2),
wo n die Anzahl der Eckpunkte des n-gon ist.
Die Summe der Winkel eines konvexen Polygons wird berechnetganz einfach. Betrachten Sie eine solche geometrische Figur. Um die Summe der Winkel innerhalb eines konvexen Polygons zu bestimmen, muss einer seiner Eckpunkte mit anderen Eckpunkten verbunden sein. Als Ergebnis dieser Aktion erhalten wir (n-2) Dreiecke. Es ist bekannt, dass die Winkelsumme eines Dreiecks immer 180 ° beträgt. Da ihre Zahl in jedem Polygon gleich (n-2) ist, ist die Summe der inneren Winkel einer solchen Figur 180º x (n-2).
Die Summe der Winkel eines konvexen Polygons, d.h.Je zwei innere und benachbarte äußere Winkel, diese konvexe geometrische Figur wird immer 180 ° sein. Davon ausgehend ist es möglich, die Summe aller seiner Winkel zu bestimmen:
180 х n.
Die Summe der Innenwinkel beträgt 180 ° * (n-2). Ausgehend davon wird die Summe aller äußeren Winkel der gegebenen Figur durch die Formel:
180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.
Die Summe der äußeren Winkel jedes konvexen Polygons beträgt immer 360 ° (unabhängig von der Anzahl der Seiten).
Außenecke eines konvexen Polygons wird durch die Differenz zwischen 180 ° und dem Wert des Innenwinkels allgemein dargestellt.
Zusätzlich zu den grundlegenden Eigenschaften dieser geometrischenZahlen, sie haben andere, die entstehen, wenn sie manipuliert werden. Somit kann jedes der Polygone in mehrere konvexe n-gons unterteilt werden. Dazu ist es notwendig, jede seiner Seiten fortzusetzen und diese geometrische Figur entlang dieser Geraden zu schneiden. Teilen Sie ein beliebiges Polygon in mehrere konvexe Teile auf, und zwar so, dass die Scheitel jedes Teils mit all seinen Scheitelpunkten übereinstimmen. Aus dieser geometrischen Figur ist es sehr einfach, Dreiecke zu machen, indem man alle Diagonalen von einem Eckpunkt hält. Somit kann jedes Polygon in der endgültigen Analyse in eine bestimmte Anzahl von Dreiecken unterteilt werden, was sehr nützlich ist beim Lösen verschiedener Probleme, die mit solchen geometrischen Figuren verbunden sind.
Die Stücke der Polylinie, genannt die SeitenPolygon, am häufigsten mit den folgenden Buchstaben bezeichnet: ab, bc, cd, de, ea. Dies sind die Seiten der geometrischen Figur mit den Eckpunkten a, b, c, d, e. Die Summe der Längen aller Seiten dieses konvexen Polygons wird sein Umfang genannt.
Konvexe Polygone können bezeichnet und bezeichnet werdenbeschrieben. Ein Kreis, der alle Seiten dieser geometrischen Figur berührt, wird als Inschrift bezeichnet. Ein solches Polygon wird als beschrieben bezeichnet. Der Mittelpunkt des Kreises, der in das Polygon eingeschrieben ist, ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden aller Winkel innerhalb einer gegebenen geometrischen Figur. Die Fläche eines solchen Polygons ist gleich
S = p * r,
Dabei ist r der Radius des einbeschriebenen Kreises und p ist der Halbperimeter des gegebenen Polygons.
Ein Kreis mit den Ecken eines Polygons,genannt in der Nähe beschrieben. In diesem Fall wird diese konvexe geometrische Figur bezeichnet bezeichnet. Der Mittelpunkt des Kreises, der in der Nähe eines solchen Polygons beschrieben wird, stellt den Schnittpunkt der sogenannten mittleren Senkrechten aller Seiten dar.
N = n (n-3) / 2.
Die Anzahl der Diagonalen eines konvexen Polygons wird abgespielteine wichtige Rolle in der elementaren Geometrie. Die Anzahl der Dreiecke (K), in die jedes konvexe Polygon unterteilt werden kann, wird durch die folgende Formel berechnet:
K = n - 2.
Die Anzahl der Diagonalen eines konvexen Polygons hängt immer von der Anzahl seiner Eckpunkte ab.
In einigen Fällen, um geometrisch zu lösenes ist notwendig, ein konvexes Polygon in mehrere Dreiecke mit disjunkten Diagonalen aufzuteilen. Dieses Problem kann durch Ableiten einer bestimmten Formel gelöst werden.
Definition des Problems: Wir nennen eine bestimmte Partition eines konvexen n-gon durch Diagonalen, die sich nur an den Eckpunkten dieser geometrischen Figur schneiden, in mehrere Dreiecke.
Lösung: Nehmen wir an, P1, P2, P3, ..., Pn - die Oberseite des n-Ecks. Die Zahl Xn ist die Anzahl ihrer Partitionen. Sorgfältig zu prüfen, die resultierende Diagonale geometrische Figur Pi Pn. In jedem der regulären Partitionen gehört P1 Pn zu einem bestimmten Dreieck P1 Pi Pn, wobei 1 <i <n. Auf dieser Grundlage und unter der Annahme, dass i = 2,3,4 ..., n-1, erhalten durch (n-2) diese Trennwände, die in jedem möglichen Sonderfall enthalten sind.
Sei i = 2 eine Gruppe von regulärenwelches immer die Diagonale P2 Pn enthält. Die Anzahl der Partitionen, die darin eingehen, stimmt mit der Anzahl der Partitionen des (n-1) -Gon P2 P3 P4 ... Pn überein. Mit anderen Worten, es entspricht Xn-1.
Wenn i = 3, dann wird diese andere Gruppe von Partitionen seinenthalten immer die Diagonalen P3 P1 und P3 Pn. Darüber hinaus stimmt die Anzahl der regulären Partitionen, die in dieser Gruppe enthalten sind, mit der Anzahl der Partitionen überein (n-2) -gon P3 P4 ... Pn. Mit anderen Worten, es wird Xn-2 gleich sein.
Sei i = 4, dann unter den Dreiecken das RegulärePartition enthalten sicherlich ein Dreieck P4 P1 Pn, die die Vierecks P1 P2 P3 P4 angrenzen wird, (n-3) -gon P5 P4 ... Pn. Die Anzahl der korrekten Partitionen solche Vierecke X4 gleich, und die Anzahl der Partitionen (n-3) -gon gleich Xn-3. Basierend auf dem oben genannten können wir sagen, dass die Gesamtzahl der regulären Partitionen, die in dieser Gruppe enthalten sind, Xn-3 X4 ist. Andere Gruppen, in denen i = 4, 5, 6, 7 ... 4 enthält Xn-X5, Xn-5 X6, Xn-6 ... X7 regelmäßige Partitionen.
Sei i = n-2, dann stimmt die Anzahl der regulären Partitionen in einer gegebenen Gruppe mit der Anzahl der Partitionen in einer Gruppe überein, für die i = 2 ist (mit anderen Worten, sie ist gleich Xn-1).
Da X1 = X2 = 0, X3 = 1, X4 = 2 ..., ist die Anzahl aller Partitionen eines konvexen Polygons gleich:
Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3, xn-X4 + X5 + 4 ... + X 5 + 4 Xn-Xn-X 4 + 3 + 2 Xn-Xn-1.
Beispiel:
X5 = X4 + X3 + X4 = 5
X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14
X7 = X6 + X5 + X4 · X4 + X5 + X6 = 42
X8 = X7 + X6 + X5 · X4 + X4 · X5 + X6 + X7 = 132
Bei der Überprüfung bestimmter Fälle kann man zu der Annahme gelangen, dass die Anzahl der Diagonalen von konvexen n-gonen gleich dem Produkt aller Partitionen dieser Figur ist (n-3).
Beweis für diese Annahme: vorstellen, dass P1n = Xn * (n-3), während jeder n-Ecks kann unterteilt werden in (n-2) ist ein Dreieck. In diesem Fall wird eine von ihnen gestapelt werden kann (n-3) -chetyrehugolnik. Zugleich ist jedes Viereck diagonal. Da diese konvexe geometrische Figur zwei Diagonalen können durchgeführt werden, was bedeutet, daß in jedem (n-3) -chetyrehugolnikah diagonalen zusätzlichen führen kann (n-3). Auf dieser Basis können wir, dass die Möglichkeit, zu jeder richtigen Partition abschließen muss (n-3) -diagonali, die die Anforderungen dieser Aufgabe.
Oft beim Lösen verschiedener Probleme, der elementarenGeometrie wird es notwendig, die Fläche eines konvexen Polygons zu bestimmen. Angenommen, (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... n ist eine Folge von Koordinaten aller benachbarten Ecken eines Polygons, das keine Selbstüberschneidungen aufweist. In diesem Fall wird seine Fläche durch die folgende Formel berechnet:
S = 1 (Σ (Xich + Xich + 1) (Yich + Yich + 1)),
wo (X1, Y1) = (Xn +1, Yn + 1).
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