Wie man das Kosinoderivat ableitet

Das Cosinoderivat ist analog zuAbleitung des Sinus, die Basis des Beweises ist die Definition der Grenze einer Funktion. Sie können eine andere Methode verwenden, die trigonometrische Formeln zum Reduzieren von Kosinus- und Sinuswinkeln verwendet. Drücken Sie eine Funktion durch eine andere aus - den Kosinus durch den Sinus und differenzieren Sie den Sinus mit einem komplexen Argument.

Betrachte das erste Beispiel der Ableitung der Formel (Cos (x))

Wir geben dem Argument x der Funktion y = Cos (x) ein infinitesimales Inkrement Δx. Mit dem neuen Wert des Arguments x + Δx erhalten wir einen neuen Wert der Funktion Cos (x + Δx). Dann wird das Inkrement der Funktion Δy Cos (x + Δx) -Cos (x) sein.
Das Verhältnis des Inkrements der Funktion zu Δx ist wie folgt: (Cos (x + Δx) -Cos (x)) / Δx. Wir führen die identischen Transformationen im Zähler des resultierenden Bruches durch. Erinnern Sie sich an die Formel für die Differenz der Kosinus der Winkel, das Ergebnis ist das Produkt -2Sin (Δx / 2) multipliziert mit Sin (x + Δx / 2). Wir finden die Grenze des Teilbereichs dieses Produkts auf Δx für Δx, das zu Null neigt. Es ist bekannt, dass der erste Grenzwert lim (Sin (Δx / 2) / (Δx / 2)) 1 ist und die Grenze -Sin (x + Δx / 2) -Sin (x) für Δx ist Null.
Schreibe das Ergebnis: Die Ableitung (Cos (x)) "ist gleich - Sin (x).

Manche Leute mögen den zweiten Weg, die gleiche Formel abzuleiten

Aus der Trigonometrie: Cos (x) gleich Sin (0,5 · Π-x) in ähnlicher Weise Sin (x) cos (0,5 · Π-x). Dann differenzierbar komplexe Funktion - der Sinus eines Zusatzwinkels (statt X Cosinus).
Wir erhalten das Produkt Cos (0,5 · Π-x) · (0,5 · Π-x),weil die Ableitung des Sinus x gleich dem Kosinus von x ist. Wendet man sich der zweiten Formel Sin (x) = Cos (0.5 · ∞-x) des Kosinus zu Sinus zu, so berücksichtigen wir, dass (0.5 · ∞-x) "= -1. Nun erhalten wir -Sin (x).
Wir haben also das Kosinoderivat y "= -Sin (x) für die Funktion y = Cos (x) gefunden.

Quadratisches Cosinoderivat

Häufig verwendetes Beispiel, bei dem die Ableitung des Kosinus verwendet wird. Die Funktion y = Cos²(x) ist komplex. Wir finden zuerst das Differential einer Potenzfunktion mit dem Exponenten 2, dies wird 2 · Cos (x), dann multipliziere es mit der Ableitung (Cos (x)) ", was -Sin (x) ist. Wir erhalten y" = -2 · Cos (x) · Sünde (x). Wenn wir die Formel Sin (2 · x), den Sinus des Doppelwinkels, anwenden, erhalten wir das Endliche vereinfacht
antworte y "= -Sin (2 · x)

Hyperbolische Funktionen

Im Studium vieler technischer angewandtDisziplinen: in der Mathematik, zum Beispiel, erleichtern die Berechnung von Integralen, die Lösung von Differentialgleichungen. Sie werden durch trigonometrische Funktionen mit einem imaginären Argument ausgedrückt, also der hyperbolische Kosinus ch (x) = Cos (i · x), wobei i die imaginäre Einheit ist, der hyperbolische Sinus sh (x) = Sin (i · x).

Das hyperbolische Kosinoderivat wird leicht berechnet.
Betrachten Sie die Funktion y = (e^x+ e^-x) / 2, dies ist der Hyperbelkosinus von ch (x). Wir verwenden die Regel, die Ableitung der Summe zweier Ausdrücke zu finden, die Regel, nach der das Vorzeichen der Ableitung einen konstanten Faktor (Const) ausführt. Der zweite Term 0,5 · e^-x Ist eine komplexe Funktion (ihre Ableitung ist -0,5 · e^-x), 0,5 · e^xIst der erste Begriff. (ch (x)) "= ((e^x+ e^-x) / 2) "kann anders geschrieben werden: (0,5 · e^x+ 0,5 · e^-x) "= 0,5 · e^x-0,5 · e^-x, weil die Ableitung (e^-x) "ist -1, multipliziert mit e^-x. Das Ergebnis ist eine Differenz, und dies ist der hyperbolische Sinus von sh (x).
Schlussfolgerung: (ch (x)) "= sh (x).
Betrachten wir als Beispiel die Berechnung der Ableitung der Funktion y = ch (x³+1).
Durch die Regel zur Differenzierung eines hyperbolischen Kosinus mit einem komplexen Argument y "= sh (x³+1) · (x³+1) ", wobei (x³+1) "= 3 · x²+0.
Antwort: Die Ableitung dieser Funktion ist 3 · x²· Sh (x³+1).

Die Ableitungen der Funktionen y = ch (x) und y = Cos (x) sind tabellarisch

Bei der Lösung von Beispielen ist es nicht notwendig, sie jedes Mal nach dem vorgeschlagenen Schema zu unterscheiden, es reicht aus, die Ableitung zu verwenden.
Ein Beispiel. Unterscheide die Funktion y = Cos (x) + Cos²(-x) -Ch (5x).
Es ist leicht zu berechnen (unter Verwendung von Tabellendaten), y "= -Sin (x) + Sin (2 · x) - 5 · Sh (5 · x).

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